単純加算によるＤＣ音圧上昇のパラドクス

単純加算によるＤＣ音圧上昇のパラドクス
鏡像音源法で反射音のインパルス応答を計算する場合、一つのパラドクスが存在する。それは、無限の反射回数を設定するとインパルス応答の加算値も無限大に発散してしまう問題である。１、自由空間において、測定点での音圧Pは音源からの距離Lに反比例する。　P=Po/L ２、測定点からの距離がLとなる半径Lの球の表面積はLの二乗に比例する。　　鏡像音源を各１個含む鏡像空間は等間隔で稠密に並んでいるので、音源の平均空間密度は一定であり、距離が十分大きくなると時間当たりに観測される反射音の数もまたLの二乗に比例する。３、等距離から到達する反射音の遅延時間は同一であるので、反射音の位相は全て揃っており、その加算値はエネルギー加算(RMS値)ではなく、単純な音圧値での加算となる。４、従って、反射率＝１の場合は時間当たりの反射音レベルはP(all)=LLPo/Lとなり、加算後の音圧レベルはLに比例して増加する。測定点への到達時間はLに比例するので、時間と共に合計の反射音レベルは増大し、最終的には無限大に発散する。（これは、宇宙が無限に等方的であれば夜空は星で埋め尽くされる問題に少し似ている）この現象は、本来は幅がゼロであるはずのインパルスを、有限幅の波形と見なして加算しているために発生している。（幅が無限小のインパルスであれば、いくら重なっても密度が増えるだけであり、加算されて振幅が増大することはない）しかし、入力音源の時間幅が時間分解能と等しい幅の方形波パルスの場合を考えると、全く同じ現象が発生するのである。 ●計算の仮定のどこに誤りがあるか音圧加算の計算そのものには問題はない。誤っているのは音源の波形である。正の振幅を持つ方形波パルスが時間幅を持つ場合、その周波数成分はＤＣを含む。自由空間に於いて一度ＤＣ成分を印加すると、音圧がゼロに収束した後でも音源からの空気の供給は無限に続く。（空気の慣性でＤＣ的な流量が減少する為には負の音圧が必要なので、音圧０では流量は一定のまま減少しない）負の音圧を加えない限り、音源からの継続的な空気の流入は永遠に続き、自由空間であれば音源から周囲へ拡散移動するだけであるが、小さな閉空間に閉じ込めるとこれがＤＣ的な圧力の上昇として計算されるのである。従って、ＤＣ成分による誤差を避けるには、音源にＤＣを含まない波形を用いなければならない。 ●ＤＣ成分の除去方法入力パルスと同振幅の負極性パルスを加算するとＤＣはなくなるが、低周波成分もなくなり低域の評価が出来ない。最もシンプルな方法は、全積分期間に平均して入力信号のＤＣ分を打ち消すだけの負のＤＣを加算する方法である。これで積分期間終了時には音源からの流速はゼロになるが、それまでの総流量積分値はＤＣ分を含むので低域の異常な上昇は残ってしまう。ＤＣ成分を打ち消す補正成分の量を増加すれば流量の積分値をゼロにリセットできるが、逆にマイナス方向の流速が期間終了時に残るので次の期間でマイナスに振れてしまい、ＤＣ成分だけをキャンセルできない。音源からの流速と流量を共にゼロにリセットするには、音源のインパルスを音源区間中央に置いて他の区間にそれをキャンセルするのに必要なＤＣ成分を一様に加えなければならない。つまり、1Hz以上の特性に影響を与えずにＤＣ補正する場合、１秒間の音源駆動区間で中央の500msに0.1msの+1.0振幅パルスを置き、これに全区間で-0.0001振幅のＤＣ値を加える。その結果、反射率が1.0の場合DC補正しなかった時の500ms時の反射音DCレベルの1/4がインパルス印加時に負側に振れ、インパルス印加後はＤＣ変位の傾きが逆転し、１秒後にはＤＣ成分がちょうどゼロに打ち消される。反射減衰がゼロで残響が永遠に続く場合でも、音源からの体積流積分値（ＤＣ成分）がゼロなので、ＤＣ成分の時間的成長は発生しない。 ●補正しない場合の実際の誤差量見積もり鏡像音源法を使って反射音のインパルス応答を計算する場合、反射率が高すぎて計算打ち切り時の反射減衰量が小さいと誤差が大きいので通常は反射減衰が40dB以上になる条件で計算する。例として、全壁面の反射率=0.95で部屋の寸法が3.5m程度とすると、１回反射での減衰が0.445dBなので90回の反射で40dB減衰となる。反射音密度から想定されるＤＣ成分発生量は、音源が0.1msインパルスとして平均反射間隔10msの1/100、反射89→90回で増加する音源数は５万弱、距離減衰1/315で約1.5になり、反射減衰40dBで最終的に0.015程度残ると予想される。これは直接音の３％程度なので若干（±0.3dB程度）の影響にとどまり、10Hz以上の帯域ではＤＣ成分が影響する割合がＦに比例して小さくなるので0.03dB以下の無視できるレベルになる。つまり、反射率が0.95以下で10Hz以上の周波数に限って言えば、ＤＣ補正しなくても誤差は無視できる。通常、鏡像音源法が適用される範囲の条件では、ＤＣ成分の補正処理は不要と考えて良いのである。なお、先行研究例として挙げた ”Image Method for efficiently simulating small‐room acoustics” (1978) では、インパルス応答波形の最初の部分にＤＣ成分が現れるのを除去する為にデジタルフィルタで低域カットすることを推奨している。　　　室内の音響伝達特性検討の　計算法に戻る　　　　目次に戻る

　
鏡像音源法で反射音のインパルス応答を計算する場合、一つのパラドクスが存在する。
それは、無限の反射回数を設定するとインパルス応答の加算値も無限大に発散してしまう問題である。

１、自由空間において、測定点での音圧Pは音源からの距離Lに反比例する。　P=Po/L
２、測定点からの距離がLとなる半径Lの球の表面積はLの二乗に比例する。
　　鏡像音源を各１個含む鏡像空間は等間隔で稠密に並んでいるので、音源の平均空間密度は一定であり、距離が十分大きくなると時間当たりに観測される反射音の数もまたLの二乗に比例する。
３、等距離から到達する反射音の遅延時間は同一であるので、反射音の位相は全て揃っており、その加算値はエネルギー加算(RMS値)ではなく、単純な音圧値での加算となる。
４、従って、反射率＝１の場合は時間当たりの反射音レベルはP(all)=L*L*Po/Lとなり、加算後の音圧レベルはLに比例して増加する。

測定点への到達時間はLに比例するので、時間と共に合計の反射音レベルは増大し、最終的には無限大に発散する。（これは、宇宙が無限に等方的であれば夜空は星で埋め尽くされる問題に少し似ている）

この現象は、本来は幅がゼロであるはずのインパルスを、有限幅の波形と見なして加算しているために発生している。（幅が無限小のインパルスであれば、いくら重なっても密度が増えるだけであり、加算されて振幅が増大することはない）
しかし、入力音源の時間幅が時間分解能と等しい幅の方形波パルスの場合を考えると、全く同じ現象が発生するのである。

●計算の仮定のどこに誤りがあるか

音圧加算の計算そのものには問題はない。誤っているのは音源の波形である。
正の振幅を持つ方形波パルスが時間幅を持つ場合、その周波数成分はＤＣを含む。
自由空間に於いて一度ＤＣ成分を印加すると、音圧がゼロに収束した後でも音源からの空気の供給は無限に続く。（空気の慣性でＤＣ的な流量が減少する為には負の音圧が必要なので、音圧０では流量は一定のまま減少しない）

負の音圧を加えない限り、音源からの継続的な空気の流入は永遠に続き、自由空間であれば音源から周囲へ拡散移動するだけであるが、小さな閉空間に閉じ込めるとこれがＤＣ的な圧力の上昇として計算されるのである。
従って、ＤＣ成分による誤差を避けるには、音源にＤＣを含まない波形を用いなければならない。

●ＤＣ成分の除去方法

入力パルスと同振幅の負極性パルスを加算するとＤＣはなくなるが、低周波成分もなくなり低域の評価が出来ない。最もシンプルな方法は、全積分期間に平均して入力信号のＤＣ分を打ち消すだけの負のＤＣを加算する方法である。

これで積分期間終了時には音源からの流速はゼロになるが、それまでの総流量積分値はＤＣ分を含むので低域の異常な上昇は残ってしまう。
ＤＣ成分を打ち消す補正成分の量を増加すれば流量の積分値をゼロにリセットできるが、逆にマイナス方向の流速が期間終了時に残るので次の期間でマイナスに振れてしまい、ＤＣ成分だけをキャンセルできない。

音源からの流速と流量を共にゼロにリセットするには、音源のインパルスを音源区間中央に置いて他の区間にそれをキャンセルするのに必要なＤＣ成分を一様に加えなければならない。

つまり、1Hz以上の特性に影響を与えずにＤＣ補正する場合、１秒間の音源駆動区間で中央の500msに0.1msの+1.0振幅パルスを置き、これに全区間で-0.0001振幅のＤＣ値を加える。
その結果、反射率が1.0の場合DC補正しなかった時の500ms時の反射音DCレベルの1/4がインパルス印加時に負側に振れ、インパルス印加後はＤＣ変位の傾きが逆転し、１秒後にはＤＣ成分がちょうどゼロに打ち消される。

反射減衰がゼロで残響が永遠に続く場合でも、音源からの体積流積分値（ＤＣ成分）がゼロなので、ＤＣ成分の時間的成長は発生しない。

●補正しない場合の実際の誤差量見積もり

鏡像音源法を使って反射音のインパルス応答を計算する場合、反射率が高すぎて計算打ち切り時の反射減衰量が小さいと誤差が大きいので通常は反射減衰が40dB以上になる条件で計算する。

例として、全壁面の反射率=0.95で部屋の寸法が3.5m程度とすると、１回反射での減衰が0.445dBなので90回の反射で40dB減衰となる。
反射音密度から想定されるＤＣ成分発生量は、音源が0.1msインパルスとして平均反射間隔10msの1/100、反射89→90回で増加する音源数は５万弱、距離減衰1/315で約1.5になり、反射減衰40dBで最終的に0.015程度残ると予想される。
これは直接音の３％程度なので若干（±0.3dB程度）の影響にとどまり、10Hz以上の帯域ではＤＣ成分が影響する割合がＦに比例して小さくなるので0.03dB以下の無視できるレベルになる。

つまり、反射率が0.95以下で10Hz以上の周波数に限って言えば、ＤＣ補正しなくても誤差は無視できる。通常、鏡像音源法が適用される範囲の条件では、ＤＣ成分の補正処理は不要と考えて良いのである。

なお、先行研究例として挙げた
”Image Method for efficiently simulating small‐room acoustics” (1978)
では、インパルス応答波形の最初の部分にＤＣ成分が現れるのを除去する為にデジタルフィルタで低域カットすることを推奨している。

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