等価回路によるスピーカー低域特性の解析とキャビネット設計法


――  §3 : バスレフ方式の設計法  ―――

● ダクトチューニングの計算法

キャビネットの音響コンプライアンスCaは、
  Ca=Vc/ρc2 (*1)

ダクトの音響イナータンス(慣性成分)Maは、
  Ma=ρLd/Sd (*1)  但し、Ld:ダクト長さ(m)、Sd:ダクト断面積(m2)

ダクトの共振周波数をfdとすると、
  fd=1/2π√(MaCa) =√(Sd/VcLd)×c/2π =54.7√(Sd/VcLd)

これはMKS単位系なので、CGS単位系(L':cm、S':cm2、Vc':リットル)に変換すると、
  fd(Hz) =√10・54.7√(S'/Vc'L') =173・√(S'/Vc'L') となる。

これから、必要なダクト長さを逆算すると、
  L'(cm) =30000S'/Vc'fd2

なお、ダクトの前後開口部には、振動板前後に付加されたのと同様な空気質量が加わるので、ダクトの機械的な
長さよりも長くなったのと同じ効果が発生する。(この付加質量分の計算を、開口部の端補正という。)

断面形状が直径Dの円形ダクトの場合、キャビネット取付面での端補正は、SPK振動板の片面に付加される質量と同じで、
  バフル面側補正値:L'a =8r/3π =0.424D (*1)

一方、ダクトがキャビ内に突き出している側での端補正は、フランジがないだけ小さくなり、
  キャビ内側補正値:L'b =6r/π2 =0.304D (*1)

両者を合計すると、ダクト開口端補正値=0.728D となる。

つまり、計算上20cmのダクト長さが必要とされる場合、ダクト内径が4cmあれば0.728D=2.9cmだけ短いダクト
をつければよい。
ダクト形状が円形でない場合も、ほぼ正方形であれば同じ断面積の円と同等として計算してよい。
しかし、細長い長方形の場合は短辺の長さをDとして1.0Dを補正値とするほうが実際に近くなる。

なお、ダクトの開口部の近くで断面積を変化する(開口端で広げる)場合は、形状にもよるが広げた分だけ
実効長が短くなったとして計算する。(最終的には実測値で再調整する必要がある。)


【例題6】
内容積が4リットルの箱に内径36mmの紙管ダクトを付けて、バスレフのfdを70Hzにしたい。
ダクトの長さは何cmにすればよいか?

(回答)
CGS単位系でのダクト長さを求める式は、L'(cm) =30000S'/Vc'fd2 であるので、これに値を代入すると
S'=πD2/4=10.18 cm2、Vc'=4、fd=70 より、L’=30000*10.18/(4*70*70) =15.58 cm
ダクト開口部端補正値=0.728D=2.62 cm

以上から、実際にダクト長さとして必要なのは、15.58-2.62=12.96 cm である。


● 低域周波数特性の計算

バスレフ型の場合、振動板背面には密閉型と同様にキャビネット内の圧力により負荷が加わるが、ダクトの穴
が開いている為、その音響負荷インピーダンスはキャビネット容積によるコンプライアンスCaとダクトの
慣性イナータンスMdが並列に接続されたものになる。これを等価回路で表すと、

Mo=Mm+16ρr3/3
Cm=1/(Mo・(2πfo)2)
Ro=Rm+(BL)2/Re=(√Mo/√Cm)/Qo
Ca=Vc/ρ(cπr2)2=Cm/k
  但し、k=Vs/Vc
Md=ρLd/Sd(πr2)2=1/(Ca・(2πfd)2)
  但し、Ld=ダクト実効長m、Sd=ダクト面積m2

なお、Mm:振動系質量 kg、
   r:振動板半径 m、
   ρ:空気密度 kg/m3、c:音速 m/s、
   Vc:キャビネット容積 m3
   Vs:ユニット等価容積 m3
   fd:ダクト共振周波数 Hz である

バスレフでは、振動板から直接放射される音と、振動板の背面からダクトを通って出る逆相の音が合成されて、総合音圧となる。

つまり、回路のMoを流れる電流値からMdを流れる電流を差し引いた値=Caに流れる電流
が外部に放出される空気の流量:Ioになり、発生する音圧は、それにρfπr2 を掛けた値になる。

ダクトのチューニング周波数fdよりも十分大きな周波数では、Mdに流れる電流(ダクトから漏れる空気)は
少なく、Caに流れる電流≒Vmとなるので、密閉型と同じと考えてよい。
逆にfdより十分低い周波数ではMdのインピーダンスは低下してCaをショートする形になるので、振動板に
対しては密閉しない平面バッフルと同じになる。

fdよりも十分大きい周波数での音圧:Phは密閉と同じであり、Ph=Eρr2BL/2ReMo

低域での音圧特性は、Phとの比:P’=P/Phで考えると、P’=2πfMo・Io で与えられる。
(但し、Io:等価回路で信号源に1V入力時のCaに流れる電流)
回路シミュレーターでF特を見るときには、Caに直列にMoの1/1000の値のインダクタを挿入し、その両端電圧
を1000倍するアンプを付加すれば、F特を直読できる。

2πf=wと置いて回路方程式を数式的に解けば、
P’=1/(1-(1/MoCm+1/MoCa+1/MdCa)/w2+1/w4MoCmMdCa +(1-1/w2MdCa)Ro/jwMo)

ここで(2πfo)2=1/MoCm,(2πfd)2=1/MdCa であるから、それぞれ代入すると、
P’=1/(1-(fo2+kfo2+fd2)/f2+(fofd/f2)2 +(1-fd2/f2)Ro/jwMo)

バスレフの共振周波数、f=fdの条件では、
P’=1/(1-(fo2+kfo2+fd2)/fd2+(fofd/fd2)2 +(1-fd2/fd2)Ro/jwMo)
  =1/(1-(fo2/fd2+kfo2/fd2+1)+(fo/fd)2 +(1-1)Ro/jwMo)
  =1/(-kfo2/fd2)=-(fd/fo)2/k

つまり、ダクト共振とユニットのfoの比の二乗をユニット等価容積とキャビ容積の比で割った値に収束する。
このことは、キャビ容積が小さく、fdを低くするほどにバスレフの効果がなくなることを示している。


【例題7】
fo=50Hz,Vs=20リットルのユニットを内容積10リットルのキャビに付けた。
バスレフ共振周波数での音圧を中域でのそれと同じにするには、fdを何Hzにすればよいか?

(回答)
P’=(fd/fo)2/k であるから、これを1にするfdの値を求めると、√k=fd/fo から、
fd=fo√k =50√2 =71Hz


● 実際の周波数特性例

【Qo変化した場合】
k=1/2、fd/fo=0.71 の場合の、Qoを0.25-1.0まで、1.4倍の比率で変化した場合の周波数特性である。
(周波数はfoに対する比で表わす)

fdでのレスポンスは常に0dBで変らないが、Qoの値によりその前後の周波数で特性が変化する。
中央のQo=0.5がフラットに近いが、まだfo付近で中だるみが生じている。

この条件でQo=1/√3=0.577 とするのが古典的なバスレフ設計(S31のNHK技術研究No.27で発表:NHK理論とも言われる)で、f=fo、fdの2ポイントでの音圧が1.0となり、平坦度は良いが、音質的にはQが高くてfdの遅れが大きく、ボンついたバスレフ臭い音になる。






【fdを変化した場合1】
k=1/2、Qo=0.5 の場合の、fd/foを0.35-1.4まで、1.4倍の比率で変化した場合の周波数特性である。fdでのレスポンスが(fd/fo)2に比例するのがよく分かる。

この例は比較的大きな箱に入れた場合なのでバスレフの効果も大きく、ダクトチューニングによる低域の肩特性の変化が強く現れている。

このように、低域までバスレフを効かせようとしてfdを下げると、レスポンスが(fd/fo)2に比例してどんどん低下してしまう。

【fdを変化した場合2】
k=1、Qo=1.4 の場合の、fd/foを0.5-2.0まで、1.4倍の比率で変化した場合の周波数特性である。
(太線はfd=1.0foの場合)

このような高Qoのユニットを比較的小さな箱に入れた場合は、fo付近の肩特性はダクトのチューニングには余り影響されない。
低域限界はfdに依存するが、余り下げすぎると低域に中だるみが生じるので、この例では0.9fo程度が適当となる。

サブウーハーとして、ユニットに大きな付加質量を付けて無理やりfoを下げ、比較的小さな容積のキャビネットに入れた場合は、このような特性を示すことが多い。




【Vcを変化した場合】
k=1/2、Qo=0.5、fd/fo=0.71 の条件からVcを1.0-4.0に1.4倍の比率で変化した場合の周波数特性である。
(kとfdが変化するが、Vc=2.0を基準とする)

キャビネット容積を大きくすると、focでのQは低くなるのでだら下がりとなるが、fdのピークは逆に高くなる

fdを下げた時のレスポンスの低下をVcを大きくする事によって補おうとしても、fdのピークが制御できないので、fo付近の低下(中だるみ)と最低域のピークのために特性はフラットにはならない。

【Vsを変化した場合】
k=1/2、Qo=0.5、fd/fo=0.71 の条件からVsを0.25-4.0に2倍の比率で変化した場合の周波数特性である。
(k,Qo,foが変化するが、Vs=1.0を基準とする)

ユニットのコンプライアンスを変化しても、fdでのレスポンスは変化しない。
これは、Vsのみ変化した場合にfoは√kに比例するので(fd/fo)2/kの値が一定となる為である。

fd付近でのレスポンスの傾きは、
P'=1/(1-(fo2+kfo2+fd2)/f2+(fofd/f2)2+ (1-fd2/f2)Ro/jwMo)
をf=fdで微分すると、
・P'/・f=2/(1-(1+k)(fo/fd)2+fo/fdQo)

であり、ユニットのコンプライアンスが小さくなるとfoが大きくなるのでこの式のマイナスの部分が優勢となり、fdより下にピークが発生する。


【Moを変化した場合】
k=1/2、Qo=0.5、fd/fo=0.71 の条件から、Moを0.25-4.0まで、倍の比率で変化した場合の周波数特性である。
(能率,Qo,foが変化するが、Mo=1.0を基準とする)

これを見ると、fdより下の周波数ではMoが軽いほうが音圧は高くなることが分かる。
(密閉とは逆)
振動系が重いと、foのピークが急峻となり再生レンジが狭くなる。

この事から、バスレフでは振動系の質量はfoとのバランスが取れる範囲で重過ぎないほうが良い。

● 密閉型との音圧特性比較

右図はQo=0.5のユニットをK=Vs/Vc=1の条件で密閉にした時(細線)と、同じ条件でfd=foのバスレフにした時(太線)の音圧比較である。

fdでのレスポンスは0dBであるが、それより上の帯域では振動板からの音圧と、バスレフダクトからの音圧が同位相で合成され、音圧が上昇している。

振動板裏側の音は本来逆位相であるが、キャビ容積のCaとダクト慣性質量のMdにより、fdより上の周波数では位相が180゜反転し同位相となる。
これが「位相反転型」の名前の由来である。

周波数fdではダクト共振による内部圧力で振動板の振幅が止まり、音圧はダクトから放出される空気流による成分のみとなる。
fd以下の周波数では位相反転効果がなくなり、振動板からの音圧と打ち消し合うために音圧は低下するが0.6fdまでの周波数ではまだバスレフのほうが高く、それ以下ではバスレフは急激に音圧が低下する。

● 低域振幅特性

バスレフでの振動板振幅特性は、密閉と同様に等価回路での機構系の振動板速度Vmを積分すれば得られる。回路シミュレーターではCmの両端に加わる電圧値を観測すればよい。
数式的に解く事も出来るが面倒なので単純に密閉形の結果と対比することにより考察するほうが実用的である。

上と同じ条件で振動板振幅を比較したのが右図で、√(1+k)=1.4foまでは密閉とバスレフは同等、fd付近でバスレフの振幅は急激に小さくなり、0.8fdで密閉を超え、それ以下の周波数ではユニット単体での振幅(=0dB)に収束する。

密閉型ではキャビネットのコンプライアンスによって振動板の動きが押えられ、1/(1+k)になるのと比較すると、バスレフではユニット単体でのコンプライアンスだけで駆動力BLを受け止めている事になる。
従って、0.8fd以下では密閉よりも振幅による入力限界は小さくなってしまう。
(いわゆるコーンの空振り現象)

発生する音圧を振動板振幅で割った値を比較したのがこの図である。
密閉型では音圧は常に振動板の加速度(速度の微分値)に比例するので、右上がり12dB/octの直線になる。これはキャビの大きさやQoの値によらず常に同じである。
バスレフではfo付近までは密閉より振幅当りの能率は良く、fdにおいて最良となり、0.7fdで密閉の値と交差、それ以下では急激に能率は低下する。
音圧特性では0.6fdで密閉と交差するが、それはバスレフが低域で振幅が急激に増加している為であり、耐入力の点では0.8fd以下の入力はなるべく入れないほうが良い。
【例題8】
口径25cmのユニットで、振幅が±8mmの場合、バスレフで低域の許容入力を200Wにするには
ユニット単品のコンプライアンスをいくつに設定すればよいか?
但し、ユニットのBLは20(T・m)、ボイスコイル抵抗は3Ω、定格インピーダンスは4Ωとする。

(回答)
バスレフの低域での振幅は、Vc=∞(k=0)の密閉と同じになる。
例題5の回答2より、k=0とすれば、
E=D・Re/(BL・Cm) 従って、Cm=D・Re/(BL・E)

ここで最大入力200Wであるので、E=√(ZeP)=√800=28.3V、但し、これは実効値なので最大値は40V
これらを代入すると、
Cm=0.008*3/(20*40) =3.0×10-5 m/N

なお、この値は0.8fd以下の周波数も同じだけ入力されると仮定した場合であり、電気的に補正して0.8fd以下
の周波数成分をカットするようにすればその分だけ振幅は小さくなり、実質的な耐入力は向上する。


● ダクト断面積とロスの算出

これまでの計算では、ダクトの抵抗分は考慮されていない。
ダクトのイナータンスも、Ma=ρL/Sで与えられ、開口面積Sをいくつに取ればよいかは示されていなかった。
実は冒頭に記した参考文献にも、一般的な音響工学の教科書にもダクトのロスについて定量的に記されている物は
ない。
しかし、流体工学の理論では常識としてオリフィス(堰)から流出する流体の速度計算式はあり、これを適用する
事で簡単にダクトから流出する空気の速度と圧力ロスの関係は計算可能である。

バスレフダクトでは、ダクト内から出る時に空気流は周辺の流れと剥離している場合がほとんどなので、圧力ロス
が空気の運動エネルギーに等しいと仮定すると、
 圧力Pに抗して面積SのピストンをL押し込むのに要するエネルギーEpは、Ep=PSL
 同じ体積の空気を速度vに加速するのに要するエネルギーEvは、Ev=ρSLv2/2
 両者が等しいとすると、PSL=ρSLv2/2
 これを変形すると、P=ρv2/2

つまり圧力ロスは空気流の2乗に比例する。
 抵抗値に換算すると、R=P/(S・v)=ρv/2S

つまり抵抗値は速度に依存する非線型の値となる。


バスレフの共振点fdでは、理想的にはダクトに流れる空気のみが音源となり、1m距離では先の能率の式から、
  P=fρSVm、 従って、Vm=P/fρS
一方、ダクトのイナータンス:Ma=ρLd/Sd、キャビネットの音響コンプライアンス:Cv=Vc/ρc2 より
  fd=(c/2π)・√(Sd/LdVc)

fdにおけるダクトのQ(慣性インピーダンスと抵抗分の比)は、
 Qd=2πfdMa/(ρVm/2Sd)=(cρLd/Sd)・√(Sd/LdVc)/(ρP/fdρ^2Sd2^)
   =2fdρcSd√(SdLd/Vc)/P =ρc2Sd2/(PπVc) =45000S2/PVc

この結果から、必要なダクト開口面積Sd(m2)は、
  Sd=√(PπVcQd/ρ)/c =0.0047 √(PVcQd)

つまり、最大音圧で必要なQdの値と、キャビネット容積のみによって最低限必要なダクト面積は決まり、
ダクト長さや共振周波数には左右されない。

ダクトの形状が円形の場合は、Sd=πr2であるので、
ダクト半径:r=√(Sd/π)=√(0.0047 √(PVcQd)/π)=0.039 √√(PVcQd)


【例題9】
10cmユニットを4Lのキャビに入れて、バスレフ共振点での最大発生音圧を94dBとしてこの時のQdを
最低で10確保したい。ダクト開口寸法はいくつ取ればよいか?
また、38cmユニットを200Lのキャビに入れてfdでの最大音圧を110dBとする場合(Qd=10)には
どうなるか?

(回答)
音圧94dBは、P=1.0 N/m2であるので、r=0.039 √√(1*0.004*10)=0.0147m =1.47cm
つまり、直径3cmあれば良いことになる。

38cmWFの例では、110dB音圧はP=10((110-94)/20)=6.3なので、r=0.039 √√(6.3*0.2*10)=0.073m =7.3cm
つまり、大容積のキャビで大音量再生を行うには直径15cmほどのダクトが必要である。
(ダクトがこれより小さいと、r4でQが下がる。10cmだと音圧110dBでは1/4.5のQd=2.2になってしまう。
 音圧が低ければその分Qは上がり、100dBではQd≒7になるので、大音量時に低音が詰まる感じになる。)

なお、ここで計算したQdの値は、空気の運動エネルギーになって外部に放出されるロスの分だけであり、
内部の吸音材や箱のエア漏れのロス、キャビネットの剛性不足による物は含まれていない。
また、実際のダクト開口面積は、fd以下の周波数での風切り音の点で決まることが多く、Qdによって
与えられるサイズは必要最小限と考えたほうが良い。


● バスレフでの電気インピーダンス特性

非常に簡単に言えば、中域から高域では同じ容積の密閉型の特性、低域ではMo+Mdとユニット単体のCmで決まるfd'=fo√(Mo/(Mo+Md))のカーブになる。

その中間、つまりfdの周辺ではダクト共振により振動板の振幅が抑えられるので動インピーダンス成分は減少し、谷を発生するのでピークが2つあるようなカーブとなる。
(左右のfd',fobの山は、実際にはfdの谷によって左右に押し広げられるので、ピーク周波数は変化する。)

この様子を計算したのが右図である。赤線は密閉型の場合、黒線はバスレフ時のインピーダンス特性を示す。

fdでの谷の底の値は、理想的にはReと同じであるが、ダクト共振のQはエア漏れや吸音材により低下するので、完全にReまでには下がらない。

但し、中音域での定格インピーダンスの値よりも大きい場合は、エア漏れなどでバスレフが十分に働いていないと考えられる。つまり、インピーダンス特性からバスレフ動作がうまく働いているかを判断できる。

インピーダンスの谷が浅くなるほどの空気漏れはかなりひどい状態であるが、空気漏れをチェックするにはバスレフの穴に口をぴったり当てて軽く息を吹き込むと、押し返してくる空気の圧力から漏れの様子が良く分かる。


● 特性フラットになる設計条件

以上の説明のように、バスレフ型ではダクト共振周波数fdでのレスポンスは
  P’=|-(fd/fo)2/k| =(fd/fo)2*Vc/Vs
でありQoの値には左右されないが、foc付近の特性はQocに左右されるので特性がフラットになるVc/Vsの値は一つであり、従ってfd/foの値も一義的に決まる。

最適なfd/foやVc/Vsの値はQoによって決まる関数になるが、特性をフラット条件からどこまでずらすか、によってある程度の自由度はある。
(この場合、特性は当然フラットにはならない)

シミュレーションによって確認したフラット条件の設計値と、周波数特性のうねり(リプル)を±0.5dB許して低域を伸ばした場合の設計値が右図である。

特性フラット(リプル0)条件でのVc/Vsが赤、
fd/foが黄色、fc(-3dB)/foが桃色のカーブ、
リプルを±0.5dB許した条件でのVc/Vsが青、
fd/foが緑、fc(-3dB)/foが水色である。

キャビ容積を3~5割多めにとり、fdをその分調整することで、低域限界を1~2割程度拡大することが出来る。(その分周波数特性はうねる)

各Qoの条件について、再生帯域を無理に引き伸ばした場合の、周波数特性のうねり(リプル)量を計算したのが次の図である。
(カットオフ周波数は-6dB、リプル量は2fo以下の
 平均値を取っていることに注意。±0.5dBのリプルは
 平均リプル量では0.25dB程度に相当する。)

許容リプル量と低域カットオフ周波数のトレードオフ関係は、ほぼ直線(比例関係)であり、Qoが高いとリプル増加立ち上がりが急になることが分かる。

Qo=0.5程度までは、ほぼリプル0に調整できるが、Qがこれ以上になるとfo付近のピークが制御できず、F特のリプルはゼロには出来ない。(グラフのQo=0.70のカーブが平均リプル0.7で止まっているのはこのため。)

上の設計値のグラフでは、Qo=0.5より高い領域の値は、
foのピークは無視してバスレフのfd付近の特性のみを
フラット化した場合の設計値である。


以上、周波数特性のフラット化の観点のみを考慮して設計値を論じてきたが、低域まで再生出来る高Qoのユニットではダンピングが低下し、ダクト共振周波数での群遅延が大きくなる。
音質重視の場合は、周波数特性の音圧位相特性の微分値である群遅延が、20msを超えないようにすべき。

(例えば、ダイヤトーンのP-610FBのような高Qoユニットを50Lを超える大きなキャビネットに入れ、
 fdを40Hz程度に取れば、ほぼフラットに40Hzまで再生出来るが、群遅延は30msを超えるので
 ダンピングの悪い遅れた低音になってしまう。
 もう少し小さな容積にして低域のFレンジは欲張らない方が音質は向上する。)


● ダクト遅延やダクト位置の影響(リアバスレフの場合)

以上の解析は、ダクトがユニット振動板と等しい距離にあり、時間差がない場合としている。
実際にはキャビ内部からダクトを通る音速での遅延があり、さらにダクト位置が後ろに付いているリアバスレフでは後ろから前面までの距離差も加算されて時間遅れがかなり大きくなる。
さらにリアバスレフでは開口位置その物が遠いので距離減衰の効果も加わって低域レベルが低下する。

この影響を調べるには、距離差により発生する遅延とレベル差をダクト音圧に加味すれば良い。

例として、Fostex FF105-WKの標準箱で普通の時とリアバスレフでダクト距離差を反映した場合の違いを比較する。

箱内容積は6.4L、ダクト共振は73Hzであり、距離遅延は56cm(1.65ms)、減衰は1/1.29=0.775とする。

20Hz-500Hzのシミュレーション結果が右図。
(普通が紫、リアバスレフ時が赤のカーブ)

100Hz以下では遅延時間での位相差は無視できるが、200Hz以上では位相がほぼ逆に近付くのでレベル低下が発生している。

さらに低域ではダクト音圧が2dBほど低下するので、低域全体が少し下降する。

リアバスレフは低域の迫力は出しにくいが、ダクトからのノイズが気にならないのでおとなしい音の傾向となる。


    次の設計法に進む    スピーカーの理論・設計に戻る    AudioのTOPに戻る