５、高分解能歪み率計の設計検討（続き）
５－１、基本ツインＴフィルタのノイズ解析
「ツインＴ」というのは、下の原理図で示すようにＣＲのＴ型ネットワークを二つ重ねた形である事からそう呼ばれますが、ＣＲのみで基本波が除去されて基本波の振幅がアンプ部に全く入らない事から、高分解能の歪み測定に有利な方式です。
（ウイーンブリッジやステートバリアブル型などの他の方式では、基本波成分もアンプを通すのでアンプの最大出力や歪みが検出限界に影響する）
通常は左右のR1,R2とC1,C2の値を同じにした対称型が用いられますが、入力側と出力側のインピーダンス比：Ｎを大きくした非対称型でも、GNDに繋がる辺に左右辺の素子を並列に挿入する事により同調（基本波の通過を阻止）の成立条件をキープできます。
R1=R、R2=N*R、R3=R1*R2/(R1+R2)
C1=C、C2=C/N、C3=C1+C2
fo=1/(2πCR)
同調のＱは、Qo=1/(2+2/N)で、対称型のN=1ではQo=0.25ですがNを十分大きくするとＣＲのみで実現できる理論限界のQo=0.5に近付けることが出来ます。（ノイズの点では、対称型が最良）
伝達関数は、s=jwf/fo と置いて、
F(w) = (1+s^2)/(1+s^2+s/Qo)
このままではＱが低くて基本波以外の
２次高調波も減衰してしまうので、
右の図のように正帰還を掛けてＱを
大きくします。
帰還率をKfと置くと、Q=Qo/(1-Kf)
2foでの減衰率は1/√(1+(2/3Q)^2)
Q=2.0とするにはKf=0.875が必要で、この時2foの減衰率は約0.5dBとなります。
右図にQ=0.25：赤、Q=0.5：青、Q=2.0：黒のＦ特を示します。
Ｑを上げるほどに1/Ｑで消去帯域幅が狭くなります。
正帰還率が１に近付くと黒の細線で示すようにfo付近でノイズゲインが1/(1-Kf)で大きくなり、結果的にフィルタの出力ノイズが大きくなります。
N=1の対称型の場合のKf=0.5(Q=0.5)の時に、各辺の抵抗から発生するノイズの出力特性を同じグラフにR1：桃色、R2：水色、R3：黄色で示します。
また、Kf=0.875(Q=2.0)の時のR2のノイズもグラフに緑で示します。
このように、Ｑを高くするとfo近傍のノイズスペクトルが上昇します。
一方、2fo以上の高域では1/fでノイズゲインが低下するので、BW=10kHzでも100kHzでもツインＴ部の抵抗から発生するノイズはほとんど増えません。
出力される熱雑音のエネルギーは、5kHz以下の成分が主となります。（fo=1kHzの場合）
先に紹介した自作の１辺16kΩの歪み率計は、Q=2.0なのでBW=10kHz換算での全ノイズ抵抗は23kΩ程度（２段重ねて次段でfo付近のノイズが除去されるのも含み）となり、アンプのノイズも考えると2.0μＶの入力換算ノイズはほぼ限界に達しています。
５－２、二次高調波のレベル補正手法比較と最適化
このように、正帰還を掛けてＱを上げただけのツインＴフィルタでは、２次高調波の減衰量とfo付近のノイズ上昇が相反する関係にあり、しかもＱを大きくするとfoでの消去幅が狭くなり、基本波の減衰量が1/(1-Kf)だけ減る欠点があります。
この欠点を回避するために、低Qo時の2foでのレベル低下のみを補正し、fo付近は出来るだけ補正しない手法が考案されています。
その一つが1984/9月号のラ技に黒田さんが発表している方式で、右図のようにツインＴ出力を抵抗で終端し、100%の正帰還を掛けると2fo付近の肩特性を上げることが出来、少し持ち上げた特性と１次のＣＲフィルタの減衰カーブを組み合わせることで2fo付近までフラットに補正する事ができます。
もう一つの方法は、正帰還は小さくしてQ=0.5に止め、2foでのレベル低下をＱの高い２次HPFのピークにより補正する方法です。
右の回路のようにfc=1.5, Q=1.8で補正するときれいに2foまでフラットな特性が得られます。
この方式ではＱを上げなくて良いので、fo付近のノイズ上昇がありませんし、基本波除去性能の劣化もありません。
次のグラフ（下の左側）は、2fo付近の様子を拡大比較したもので、緑のQ=2.0のみでは2foで0.5dBの低下があり、２段重ねにすると２次高調波は約1dB小さく測定されてしまいますが、青の１次HPF補正では１段当りの誤差は2foで0.1dB、赤の２次HPF補正では2fo,3fo共にほぼゼロとなります。
右側のグラフは後段のフィルタでfo=1kHz付近の盛り上がったノイズスペクトルを取り除いた後の雑音スペクトルを計算した物です。（全抵抗ノイズの合計値を一辺Ｒ比で表示）
Q=2.0では、ノイズのfoピークは元の4.5倍より低くなりますが、低域ノイズはそのまま出力されます。
ＨＰＦ補正するとfo以下のノイズはほとんど取り除かれますが、「黒田式」の１次補正では２次補正に較べて中域以上でもノイズゲインはやや大きいことが分かります。
ノイズスペクトルを10kHzまで積分して、全ノイズエネルギーを等価帯域幅で評価すると、
Q=2.5のみ補正なし ：BW = 14.5kHz
K=2.5 １次HPF補正：BW = 12.3kHz
Q=0.5 ２次HPF補正：BW = 5.9kHz
つまり、最もノイズの少ない２次HPF補正でも、出力ノイズを-133dBv（224nV）とするには一辺の抵抗を530Ω以下にしなければならない事が分かりました。（１次HPF補正の場合では254Ω以下、Q=2.5のみの場合では215Ω以下が必要。）
アンプのノイズも加算されることを考えると、一辺の抵抗はさらに下げる必要があります。
５－３、もっと画期的な手法
もう一度基本のツインＴの回路を良く見ると、ＣＲのみで実現できる最大Ｑ＝0.5の場合は R2=∞、C2=1/∞で、C1=C3=C, R1=R3=R (fo=1/2πCR) であり、R2,C2の負荷がぶら下がることによるＱの低下がなければ同じ値のＣＲで入力側とGND側の定数は良いことが分かります。
であれば、この回路のようにバッファで後段を分離すれば、全部同じ値のＣＲでＱ＝0.5が実現できます。
Q=0.5ならそのまま２次HPFによる補正で2foフラットになりますので、正帰還Kf=0.5なしでツインＴが構成でき、正帰還による+6dBのノイズ上昇をなくすことできます。
正帰還でのQ=0.5の場合は、R+R/2の値の+6dB（ノイズ源抵抗値で４倍）で合計６Ｒ相当のノイズですが、無帰還のこの構成では２Ｒ相当、つまり1/3のノイズＲが期待されます。
先と同様に、各辺のノイズ影響度を10kHzまで積分して後段のフィルタ特性を加味した出力全ノイズエネルギーをＲの等価帯域幅で評価すると、
バッファ付き無帰還 Q=0.5 ２次HPF補正：BW = 2.27kHz
となり、1/3とまでは行きませんが、劇的にノイズエネルギーを下げることが出来ました。
同じ計算により、１辺の抵抗値が1.37kΩで出力ノイズ-133dBvを実現できるので、抵抗の損失を１Ｗまでとすると37Vrmsの耐入力となり、ダイレクトにパワーアンプの出力を接続可能となります。（30V入力時のDレンジは160dBに達する）
問題は新たに追加されたバッファアンプで、入力信号に近い大振幅で1kΩ負荷を駆動し、しかも歪み率は-160dBを保つ事が要求されます。これは非常に厳しい仕様ですが、アンプさえ理想的に作れば理論限界値は大きく改善可能。
物量の投入を厭わずにノイズを限界まで下げるには、印加電力が大きくなるのを我慢してとにかく抵抗値を下げることになりますが、１ｋΩ以下まで下げると許容電力や抵抗の熱歪、大容量Ｃの歪など難しい問題が出てきます。
抵抗値を出来るだけ下げないでノイズを減らせる”バッファ付き無帰還 Q=0.5ツインＴ”は、限界性能を上げるキーの技術です。
（なお、ここで説明した「２次HPF補正」は、文献で見掛けた物ではなくて一応flip-flopのオリジナルな方式ですが、調査をした訳ではないので先行例が存在するかは分かりません。「バッファ付き無帰還 Q=0.5ツインＴ」は、単にＣＲに同じ値が使えると言う点だけの実用新案がある。）
【参考】：２次高調波のレベル補正手法まとめと性能比較
上で説明した手法以外にも高調波のレベル低下を補正する手法がありますので、周波数特性とノイズ性能を比較表にしました。出力ﾉｲｽﾞＲはfo=1kHz時の等価帯域、減衰量はfoの調整が0.1%ずれた時の値です。
| 方式 | 出力ﾉｲｽﾞR | 2fo偏差 | 3fo偏差 | 減衰量 | 低域Ｆ特 | 補正ﾌｨﾙﾀ特性 |
| １、Q=0.5のTwinT (0dBバッファ付) を２次HPF補正 | 2.27kHz | +0.04dB | -0.04dB | 64dB | ２次で低下 | ２次HPF Q=2.0 fc=1.45fo |
| ２、Q=0.5のTwinT (kf=0.5帰還)を ２次HPFで補正 | 5.9kHz | -0.06dB | 0.00dB | 64dB | ２次で低下 | ２次HPF Q=1.8 fc=1.5fo |
| ３、K=1.55で終端 (kf=1.0帰還) | 9.8kHz | -0.28dB | +0.28dB | 59.2dB | 7dB低下 | （なし） |
| ４、K=4.2で終端 (kf=0.911帰還) | 10.9kHz | -0.08dB | +0.08dB | 53.8dB | 4dB低下 | （なし） |
| ５、K=2.9で終端 (kf=1.0帰還)を １次HPFで補正 | 12.3kHz | -0.03dB | -0.01dB | 56.6dB | 6dB +１次低下 | １次HPF fc= fo |
| ６、Q=0.5のTwinT (kf=0.5帰還)を BPFでfo補正 | 14.4kHz | -0.08dB | +0.08dB | 47.5dB | 通過 | Q=2.0 BPF 加算係数0.67 |
| ７、Q=0.25のTwinT (帰還なし)を BPFでfo補正 | 15.3kHz | -0.08dB | +0.08dB | 45.8dB | 通過 | Q=2.5 BPF 加算係数1.43 |
| ８、Q=2.5のTwinT (kf=0.9帰還) | 14.5kHz | -0.30dB | -0.10dB | 45.8dB | 通過 | （なし） |
| ９、K=5で終端 NFBループ内 Gain=20dB | 43.1kHz (入力換算) | -0.07dB | +0.07dB | 53dB | 4db低下 | （なし） |
（説明）
１： ２次ＨＰＦ補正方式で補正カーブを微調整。2foをわずかに上昇、3foを下降させる。
２： ２次ＨＰＦ補正方式の基本説明と同じ。
３： 抵抗終端で１次補正なし。ノイズは低いがＦ特うねりが大きい。
４： 帰還でのＱ補正と抵抗終端の併用。かなり良い特性。
５： 上の説明の１次補正タイプ。少しノイズが多い。
６： Q=0.5でBPFで低下を補償し低域もフラットなタイプ。低域通過分ノイズは不利
７： 低域通過型で帰還Ｑ上げを省略した場合。回路は簡単になるが減衰量がやや劣化。
８： 正帰還で単にＱを上げただけの場合。2nd歪成分の減衰が大きい。
９： ＮＦＢループ内にツインＴを挿入するタイプ。周波数特性は良いがノイズが悪い。
ノイズ的に最良の「１」を初段に使い、比較的フラットな「４」を２段目に使うと、周波数特性のうねりを互いに補正して総合で±0.04dBにできます。
５－４、ツインＴ部のアンプに要求される性能
最初に説明したように、基本のツインＴでは基本波は除去されて歪み成分のみがアンプに入力されます。
基本波の減衰率が60dBあれば30Vrms入力でも振幅は30mVまで低下し、-130dBのTHDを測定するにはツインＴを受けるアンプはTHD=-80dBの性能で十分で、アンプ要求性能はとても緩やかです。
初段アンプで歪み成分を+30dB以上増幅することで後段のノイズはほとんど無視でき、初段入力部のノイズさえ気を付ければ後段はクリップレベルと周波数特性をケアすればＯＫ。
気を付けなければならないのはアンプの入力雑音で、ツインＴのＲから発生するノイズは高域が低下するので評価全帯域BW=10kHzでも100kHzでもほとんど同じですが、アンプの雑音は高域が低下しないのでBW=100kHzではその分だけノイズは大きくなってしまいます。
右図に示すようにアンプ部のノイズ成分は、正帰還用アンプはR3抵抗と同様に高域が減衰しますが、信号を受ける主アンプは減衰しません。
黒田式の１次補正やＱを上げただけのPFB補正では、後段のフィルタで取り除かれる分を差し引いてもfo-2foのノイズが上昇してしまいますが、２次補正では最小限に抑えられます。
例えば、ツインＴ部の抵抗ノイズを200nVに抑えたとして、BW=10kHzでアンプのノイズを100nV以下にするには、アンプの入力雑音は1.0nV/√Hz、つまり抵抗換算で60Ω以下が必要です。
無帰還バッファ方式では、Ｃ側バッファのノイズと主アンプのノイズが全帯域で加算されるので、同じ値にするには各アンプの入力雑音は0.7nV/√Hz、つまり抵抗換算で30Ω以下が必要となります。入力雑音が1.0nV/√HzのOPアンプは入手可能ですが、0.7nV/√Hzはディスクリートで超低雑音のアンプを組まないと実現不可能。
５－５、ウイーンブリッジなど他方式との比較
回路図や特性のグラフは省略しますが、ツインＴ方式と比較するとウイーンブリッジやザルツァー型などは、一般的に見て
・同調を決めるＣＲの数が２組で済み、周波数を可変するのに有利。（ツインＴは３組必要）
・周波数の同調とゼロ点の微調が相互の影響なしにできる。（ツインＴは干渉する）
・foを決めるＣＲは少ないが信号加算の為のＲが余分に必要なので、基本波を除去するための抵抗ノイズが全帯域で大きく、等価ノイズＲはツインＴより不利（Bainter型を除く）
・主アンプに入力信号がほぼ減衰なしで入力され、歪みとＤレンジも不利。
つまり、全自動でオートレンジのような高機能は実現しやすいが、ＯＰアンプを多数使うのでノイズや歪みの限界値は良くありません。
但し、ツインＴ方式は周波数を可変するのには向いていないので、市販の自動同調型の歪率計はほとんどツインＴは使っていない。（THD限界が-120dB程度なのはその為。）
性能限界を決める初段のみツインＴを使い、性能はそこそこでよい後段には作りやすいザルツァーやウイーンブリッジを使うのも良い選択です。
→概要を「ウイーンブリッジ等、他形式のノッチフィルタ」にまとめました。
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